النسخة الأصلية ل هذه القصة ظهرت في مجلة كوانتا.
في عام 1917، طرح عالم الرياضيات الياباني سويتشي كاكيا ما بدا للوهلة الأولى أنه ليس أكثر من مجرد تمرين ممتع في الهندسة. ضع إبرة رفيعة للغاية يبلغ طولها بوصة واحدة على سطح مستو، ثم قم بتدويرها بحيث تشير في كل اتجاه بدورها. ما هي أصغر مساحة يمكن للإبرة مسحها؟
إذا قمت ببساطة بتدويرها حول مركزها، فستحصل على دائرة. لكن من الممكن تحريك الإبرة بطرق مبتكرة، بحيث يمكنك اقتطاع مساحة أصغر بكثير. منذ ذلك الحين طرح علماء الرياضيات نسخة ذات صلة من هذا السؤال، تسمى حدسية كاكيا. وفي محاولاتهم لحلها، كشفوا عن روابط مدهشة للتحليل التوافقي، ونظرية الأعداد، وحتى الفيزياء.
وقال جوناثان هيكمان من جامعة إدنبره: “بطريقة ما، فإن هندسة الخطوط التي تشير إلى العديد من الاتجاهات المختلفة موجودة في كل مكان في جزء كبير من الرياضيات”.
ولكنه أيضًا شيء لا يزال علماء الرياضيات لا يفهمونه تمامًا. في السنوات القليلة الماضية، أثبتوا وجود اختلافات في حدسية كاكيا في بيئة أسهل، لكن السؤال يظل دون حل في الفضاء الطبيعي ثلاثي الأبعاد. لبعض الوقت، بدا كما لو أن كل التقدم قد توقف في هذه النسخة من التخمين، على الرغم من أن لها العديد من العواقب الرياضية.
الآن، قام اثنان من علماء الرياضيات بتحريك الإبرة، إذا جاز التعبير. إن دليلهم الجديد يتغلب على عقبة رئيسية ظلت قائمة لعقود من الزمن، مما يعيد إحياء الأمل في أن الحل قد يكون في الأفق أخيرًا.
ما هي الصفقة الصغيرة؟
كان Kakeya مهتمًا بالمجموعات الموجودة في المستوى والتي تحتوي على قطعة خطية بطول 1 في كل اتجاه. هناك العديد من الأمثلة على هذه المجموعات، وأبسطها هو قرص يبلغ قطره 1. أراد كاكيا أن يعرف كيف ستبدو أصغر مجموعة من هذا القبيل.
واقترح مثلثًا ذو جوانب مجوفة قليلًا، يسمى الدالية، والتي تبلغ مساحتها نصف مساحة القرص. ومع ذلك، فقد تبين أنه من الممكن القيام بعمل أفضل بكثير.
في عام 1919، بعد عامين فقط من طرح كاكيا مسألته، أظهر عالم الرياضيات الروسي أبرام بيسكوفيتش أنه إذا قمت بترتيب إبرك بطريقة خاصة للغاية، فيمكنك إنشاء مجموعة شائكة المظهر تحتوي على مساحة صغيرة بشكل اعتباطي. (بسبب الحرب العالمية الأولى والثورة الروسية، لن تصل نتيجته إلى بقية عالم الرياضيات لعدد من السنوات).
لمعرفة كيفية عمل ذلك، خذ مثلثًا وقسمه على طول قاعدته إلى قطع مثلثة رفيعة. ثم قم بتحريك تلك القطع بحيث تتداخل قدر الإمكان ولكنها تبرز في اتجاهات مختلفة قليلاً. من خلال تكرار العملية مرارًا وتكرارًا – تقسيم المثلث الخاص بك إلى أجزاء أرق وأرق وإعادة ترتيبها بعناية في الفضاء – يمكنك جعل مجموعتك صغيرة كما تريد. في الحد اللانهائي، يمكنك الحصول على مجموعة ليس لها مساحة رياضيًا، ولكن لا يزال بإمكانها، على نحو متناقض، استيعاب إبرة تشير في أي اتجاه.
وقال رويكسانج تشانغ من جامعة كاليفورنيا في بيركلي: “هذا نوع من المفاجأة وغير بديهي”. “إنها مجموعة مرضية للغاية.”
