لكن ذلك لم يكن واضحا. سيكون عليهم تحليل مجموعة خاصة من الدوال، تسمى مجموع النوع الأول والنوع الثاني، لكل نسخة من مشكلتهم، ثم إظهار أن المجموع كان متكافئًا بغض النظر عن القيد الذي استخدموه. عندها فقط سيعرف جرين وسوني أن بإمكانهما استبدال الأعداد الأولية التقريبية في برهانهما دون فقدان المعلومات.
وسرعان ما توصلوا إلى إدراك: تمكنوا من إثبات أن المجموعين متساويان باستخدام أداة واجهها كل منهم بشكل مستقل في العمل السابق. تم تطوير هذه الأداة، المعروفة باسم معيار جاورز، قبل عقود من الزمن على يد عالم الرياضيات تيموثي جاورز لقياس مدى عشوائية أو تنظيم دالة أو مجموعة من الأرقام. في ظاهر الأمر، يبدو أن معيار جاور ينتمي إلى عالم مختلف تمامًا من الرياضيات. وقال ساوني: “يكاد يكون من المستحيل أن نقول كشخص غريب أن هذه الأشياء مرتبطة ببعضها البعض”.
ولكن باستخدام نتيجة تاريخية تم إثباتها في عام 2018 من قبل علماء الرياضيات تيرينس تاو وتامار زيجلر، وجد جرين وسوني طريقة للربط بين معايير جاورز والمبالغ من النوع الأول والثاني. بشكل أساسي، كانوا بحاجة إلى استخدام معايير جاورز لإظهار أن مجموعتي الأعداد الأولية – المجموعة المبنية باستخدام أعداد أولية تقريبية، والمجموعة المبنية باستخدام أعداد أولية حقيقية – كانت متشابهة بما فيه الكفاية.
وكما تبين فيما بعد، عرف ساوني كيفية القيام بذلك. في وقت سابق من هذا العام، ومن أجل حل مشكلة غير ذات صلة، قام بتطوير تقنية لمقارنة المجموعات باستخدام معايير جاورز. ولدهشته، كانت التقنية جيدة بما يكفي لإظهار أن المجموعتين لهما نفس المجموع من النوع الأول والثاني.
وباستخدام هذا، أثبت غرين وسوني حدسية فريدلاندر وإيوانيك: هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية التي يمكن كتابتها على النحو التالي: ص2 + 4س2. وفي النهاية، تمكنوا من توسيع نتائجهم لإثبات أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية التي تنتمي إلى أنواع أخرى من العائلات أيضًا. وتمثل النتيجة تقدمًا كبيرًا في نوع من المشكلات التي يكون التقدم فيها نادرًا جدًا في العادة.
والأهم من ذلك هو أن هذا العمل يوضح أن معيار جاورز يمكن أن يكون بمثابة أداة قوية في مجال جديد. قال فريدلاندر: “نظرًا لأنها جديدة جدًا، على الأقل في هذا الجزء من نظرية الأعداد، هناك إمكانية للقيام بمجموعة من الأشياء الأخرى بها”. ويأمل علماء الرياضيات الآن في توسيع نطاق قاعدة جاورز إلى أبعد من ذلك، لمحاولة استخدامها لحل مشاكل أخرى في نظرية الأعداد تتجاوز عد الأعداد الأولية.
وقال زيجلر: “إنه أمر ممتع للغاية بالنسبة لي أن أرى الأشياء التي فكرت فيها منذ بعض الوقت لها تطبيقات جديدة غير متوقعة”. “يبدو الأمر كما لو كنت أحد الوالدين، عندما تطلق سراح طفلك ويكبر ويفعل أشياء غامضة وغير متوقعة.”
القصة الأصلية أعيد طبعها بإذن من مجلة كوانتا، وهي مطبوعة مستقلة تحريريا عن مؤسسة سيمونز وتتمثل مهمتها في تعزيز الفهم العام للعلم من خلال تغطية التطورات والاتجاهات البحثية في الرياضيات والعلوم الفيزيائية والحياة.
